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总体方差和样本方差

总体方差(Population variance )的定义

一般来说,对于一个有 有限个 样本量(\( N \) 个样本,分别记为 \( x_i \),\( i \) 取值从 \( 1 \) 到 \( N \))的总体,其方差为:

其中

称为总体均值。

如果从总体样本中有放回地采样 \( n \) 个样本,这些样本满足独立同分布,那么如果用 \( \bar{x} \) 表示这些采样的均值,\( S^2 \) 表示这些样本方差的估计:

而样本均值和方差的期望有:

所以:

所以有:

进行无偏修正后:

也就是说,对于独立同分布的样本数据来说,使用样本估计总体方差时,需要除以 \( n - 1 \),而不是 \( n \)

参考资料: